单选题
设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程
在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则A的正特征值的个数为______
在正交变换下的标准方程的图形如图所示，则A的正特征值的个数为______
【正确答案】
B
【答案解析】解 由图形知该二次曲面为双叶双曲面，其标准方程为
λ1x'2-λ2y'2-λ3z'2=1，
其中λi＞0(i=1，2，3)，由于用正交变换化成的标准方程中各变量平方项的系数为A的特征值，故A的特征值为：λ1＞0，-λ2＜0，-λ3＜0，因此A的正特征值的个数为1．
本题综合考查用正交变换化二次型为标准形的有关基本概念及二次曲面的基本知识．注意，有心二次曲面的标准方程为
[*]，
其中，若3个符号全为正，则曲面为椭球面；若3个符号中2个为正、1个为负，则曲面为单叶双曲面，且对称轴为负系数所对应的轴；若3个符号中2个为负，1个为正，则曲面为双叶双曲面，且对称轴为正系数所对应的轴．因为本题中双叶双曲面的对称轴为x'轴，故其标准方程应是λ1x'2-λ2y'2-λ3z'2。=1(λ1＞0，i=1，2，3)．
λ1x'2-λ2y'2-λ3z'2=1，
其中λi＞0(i=1，2，3)，由于用正交变换化成的标准方程中各变量平方项的系数为A的特征值，故A的特征值为：λ1＞0，-λ2＜0，-λ3＜0，因此A的正特征值的个数为1．
本题综合考查用正交变换化二次型为标准形的有关基本概念及二次曲面的基本知识．注意，有心二次曲面的标准方程为
[*]，
其中，若3个符号全为正，则曲面为椭球面；若3个符号中2个为正、1个为负，则曲面为单叶双曲面，且对称轴为负系数所对应的轴；若3个符号中2个为负，1个为正，则曲面为双叶双曲面，且对称轴为正系数所对应的轴．因为本题中双叶双曲面的对称轴为x'轴，故其标准方程应是λ1x'2-λ2y'2-λ3z'2。=1(λ1＞0，i=1，2，3)．