问答题
设f(x)在[0，1]上可导，且满足
．试证明：存在ξ∈(0，1)，使
．试证明：存在ξ∈(0，1)，使
【正确答案】由积分中值定理，存在[*]使得[*]．
令F(x)=x3f(x)，因为[*]，
故有f(1)=η3f(η)，即F(1)=F(η)．
显然F(x)在[0，1]上可导，由中值定理得，存在ξ∈(η，1)，使得F'(ξ)=0即
3ξ2f(ξ)+ξ3f'(ξ)=0，
即[*]．
显然(η，1)[*](0，1)，故命题得证．
令F(x)=x3f(x)，因为[*]，
故有f(1)=η3f(η)，即F(1)=F(η)．
显然F(x)在[0，1]上可导，由中值定理得，存在ξ∈(η，1)，使得F'(ξ)=0即
3ξ2f(ξ)+ξ3f'(ξ)=0，
即[*]．
显然(η，1)[*](0，1)，故命题得证．
【答案解析】