单选题
下述命题：①设f(x)在任意的闭区间[a，b]上连续，则f(x)在(－∞，+∞)上连续；②设f(x)在任意的闭区间[a，b]上有界，则f(x)在(－∞，+∞)上有界；③设f(x)在(－∞，+∞)上为正值的连续函数，则
在(－∞，+∞)上也是正值的连续函数；④设f(x)在(－∞，+∞)上为正值的有界函数，则
在(－∞，+∞)上也是正值的连续函数；④设f(x)在(－∞，+∞)上为正值的有界函数，则
【正确答案】
B
【答案解析】解析：①与③是正确的，②与④是不正确的，理由如下： ①是正确的．设x
0
∈(－∞，+∞)，则它必含于某区间[a，b]中，由于题设f(x)在任意闭区间[a，b]上连续，故在x
0
处连续，所以在(－∞，+∞)上连续．论证的关键之处是函数f(x)的连续性是按点来讨论的，在区间上每一点处连续，就说它在该区间上连续． ③是正确的．设x
0
∈(－∞，+∞)，则f(x
0
)＞0，且在x
0
处连续．由连续函数的四则运算法则知，
在x
0
处也连续，所以
且在(－∞，+∞)上连续． ②是不正确的．反例：设f(x)=x，在区间[a，b]上｜f(x)｜≤max{｜a｜，｜6｜}
M，这个界与[a，6]有关，容易看出，在区间(－∞，+∞)上f(x)=x就无界了． ④是不正确的．反例：f(x)=e
－x2
，在区间(－∞，+∞)上0＜f(x)≤1．所以f(x)在(－∞，+∞)上为正值的有界函数，而
=e
x2
在(－∞，+∞)上无界，这是因为当x→±∞时，
在x
0
处也连续，所以
且在(－∞，+∞)上连续． ②是不正确的．反例：设f(x)=x，在区间[a，b]上｜f(x)｜≤max{｜a｜，｜6｜}
M，这个界与[a，6]有关，容易看出，在区间(－∞，+∞)上f(x)=x就无界了． ④是不正确的．反例：f(x)=e
－x2
，在区间(－∞，+∞)上0＜f(x)≤1．所以f(x)在(－∞，+∞)上为正值的有界函数，而
=e
x2
在(－∞，+∞)上无界，这是因为当x→±∞时，