解答题
设A，B均为n阶方阵，E为n阶单位阵，证明：
(1)若A+B=AB，则A-E可逆．
(2)若E-AB可逆，则E-BA可逆，并求其逆．
(1)若A+B=AB，则A-E可逆．
(2)若E-AB可逆，则E-BA可逆，并求其逆．
【正确答案】
【答案解析】(1)[证]A+B=AB
A=(A-E)B
(A-E)+E=(A-E)B
(A-E)(B-E)=E，|A-E||B-E|=1，|A-E|≠0．
故A-E可逆．
(2)[证]用反证法：若E-BA不可逆，则|E-BA|=0，于是存在一个X≠0，使
(E-BA)X=0
X=BAX．
令Y=AX，则X=BY
Y≠0(否则X=0)．
又(E-AB)Y=Y-ABY=Y-AX=0，这与(E-AB)可逆矛盾．故E-BA可逆．
[另证]因为E-AB可逆，所以存在n阶可逆矩阵C，使
C(E-AB)=(E-AB)C=E
CAB=ABC=C-E，
从而B(ABC)A=B(C-E)A
A=(A-E)B(A-E)+E=(A-E)B(A-E)(B-E)=E，|A-E||B-E|=1，|A-E|≠0．故A-E可逆．
(2)[证]用反证法：若E-BA不可逆，则|E-BA|=0，于是存在一个X≠0，使
(E-BA)X=0
X=BAX．令Y=AX，则X=BY
Y≠0(否则X=0)．又(E-AB)Y=Y-ABY=Y-AX=0，这与(E-AB)可逆矛盾．故E-BA可逆．
[另证]因为E-AB可逆，所以存在n阶可逆矩阵C，使
C(E-AB)=(E-AB)C=E
CAB=ABC=C-E，从而B(ABC)A=B(C-E)A