(2006年)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α
1
＝(－1，2，－1)
T
，α
2
＝(0，－1，1)
T
是线性方程组Aχ＝0的两个解．
(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得Q
T
AQ＝A．
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)由于矩阵A的各行元素之和均为3，所以
因为Aα
1
＝0，Aα
2
＝0，即 Aα
1
＝0α
1
，Aα
2
＝0α
2
故由定义知λ
1
＝λ
2
＝0是A的二重特征值，α
1
，α
2
为A的属于特征值O的两个线性无关特征向量；λ
3
＝3是A的一个特征值，α
3
＝(1，1，1)
T
为A的属于特征值3的特征向量． 总之，A的特征值为0，0，3．属于特征值0的全体特征向量为k
1
α
1
＋k
2
α
2
(k
1
，k
2
不全为零)，属于特征值3的全体特征向量为k
3
α
3
(k
3
≠0)． (Ⅱ)对α
1
，α
2
正交化．令ξ
1
＝α
1
＝(－1，2，－1)
T
再分别将ξ
1
，ξ
2
，α
3
单位化，得
因为Aα
1
＝0，Aα
2
＝0，即 Aα
1
＝0α
1
，Aα
2
＝0α
2
故由定义知λ
1
＝λ
2
＝0是A的二重特征值，α
1
，α
2
为A的属于特征值O的两个线性无关特征向量；λ
3
＝3是A的一个特征值，α
3
＝(1，1，1)
T
为A的属于特征值3的特征向量． 总之，A的特征值为0，0，3．属于特征值0的全体特征向量为k
1
α
1
＋k
2
α
2
(k
1
，k
2
不全为零)，属于特征值3的全体特征向量为k
3
α
3
(k
3
≠0)． (Ⅱ)对α
1
，α
2
正交化．令ξ
1
＝α
1
＝(－1，2，－1)
T
再分别将ξ
1
，ξ
2
，α
3
单位化，得
【答案解析】