单选题
15.n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )
【正确答案】
A
【答案解析】若A～A=
，则有可逆矩阵P使P-1AP=A，或AP=PA．令P=[γ1，γ2，…，γn]，即
A[γ1，γ2，…，γn]=[γ1，γ2，…，γ2]
=[a1γ1，a2γ2，…，anγn]
从而有Aγi=aiγi， i=1，2，…，n
由P可逆，即有γi≠0，且γ1，γ2，…，γn线性无关．根据定义可知γ1，γ2，…，γn是A的n个线性无关的特征向量．
反之，若A有n个线性无关的特征向量α1，α2，…，αn，且满足
Aαi=λiαi， i=l，2，…，n
那么，用分块矩阵有
，则有可逆矩阵P使P-1AP=A，或AP=PA．令P=[γ1，γ2，…，γn]，即A[γ1，γ2，…，γn]=[γ1，γ2，…，γ2]
=[a1γ1，a2γ2，…，anγn]从而有Aγi=aiγi， i=1，2，…，n
由P可逆，即有γi≠0，且γ1，γ2，…，γn线性无关．根据定义可知γ1，γ2，…，γn是A的n个线性无关的特征向量．
反之，若A有n个线性无关的特征向量α1，α2，…，αn，且满足
Aαi=λiαi， i=l，2，…，n
那么，用分块矩阵有