已知矩阵A=
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)矩阵A的特征多项式
(λ-4)(λ-1)
2
， 所以A的特征值为λ
1
=4，λ
2
=λ
3
=1，由
得A属于λ
1
=4的特征向量p
1
=(1，1，1)
T
。 由
得A属于λ
2
=λ
3
=1的两个线性无关的特征向量p
2
=(-1，1，0)
T
，p
3
=(-1，0，1)
T
。于是可逆矩阵P=
，使得P
-1
AP=A=
(Ⅱ)对于(Ⅰ)中求得的p
1
，p
2
，p
3
，令 η
1
=p
1
，η
2
=p
2
，η
3
=p
3
-([p
3
，p
2
]／[p
2
，p
2
])p
2
=
再令 再令q=*1／‖η
1
‖)η
1
=
，q
2
=(1／‖η
2
‖)η
2
=
，q
3
=(1／‖η
3
‖)η
3
=
则 Q=
为正交阵，且P
T
AQ=A=
(λ-4)(λ-1)
2
， 所以A的特征值为λ
1
=4，λ
2
=λ
3
=1，由
得A属于λ
1
=4的特征向量p
1
=(1，1，1)
T
。 由
得A属于λ
2
=λ
3
=1的两个线性无关的特征向量p
2
=(-1，1，0)
T
，p
3
=(-1，0，1)
T
。于是可逆矩阵P=
，使得P
-1
AP=A=
(Ⅱ)对于(Ⅰ)中求得的p
1
，p
2
，p
3
，令 η
1
=p
1
，η
2
=p
2
，η
3
=p
3
-([p
3
，p
2
]／[p
2
，p
2
])p
2
=
再令 再令q=*1／‖η
1
‖)η
1
=
，q
2
=(1／‖η
2
‖)η
2
=
，q
3
=(1／‖η
3
‖)η
3
=
则 Q=
为正交阵，且P
T
AQ=A=
【答案解析】