解答题
4.(16年)设函数f(χ)连续，且满足∫0χf(χ－t)dt＝∫0χ(χ－t)f(t)dt＋e－χ－1，求f(χ)．
【正确答案】令u＝χ－t，则∫0χf(χ－t)dt＝∫0χ(u)du．
由题设∫0χf(u)du＝χ∫0χf(t)dt－∫0χtf(t)dt＋e－χ－1，
由题设∫0χf(u)du＝χ∫0χf(t)dt－∫0χtf(t)dt＋e－χ－1，
求导得f(χ)＝∫0χf(t)dt－e－χ，且f(0)＝－1．
因此f′(χ)－f(χ)＝e－χ，
从而f(χ)＝e∫dχ(C＋∫e－χe－∫dχdχ)
由f(0)＝－1，得C＝－
，所以f(χ)＝－
由题设∫0χf(u)du＝χ∫0χf(t)dt－∫0χtf(t)dt＋e－χ－1，
由题设∫0χf(u)du＝χ∫0χf(t)dt－∫0χtf(t)dt＋e－χ－1，
求导得f(χ)＝∫0χf(t)dt－e－χ，且f(0)＝－1．
因此f′(χ)－f(χ)＝e－χ，
从而f(χ)＝e∫dχ(C＋∫e－χe－∫dχdχ)
由f(0)＝－1，得C＝－
，所以f(χ)＝－【答案解析】