单选题
18.
设二次型f=x
T
AX，其中A
T
=A，X=(x
1
，x
2
，…，x
n
)
T
，则f正定的充分必要条件是( )
A、
A的行列式｜A｜＞0．
B、
f的负惯性指数为0．
C、
f的秩为n．
D、
A=M
t
M，M为n阶可逆矩阵．
【正确答案】
D
【答案解析】
若A=M
T
M，则对任意X≠0，均有MX≠0(否则由MX=0得X=M
-1
0=0)，于是f=X
T
AX=X
T
M
T
MX=(MX)
T
(MX)=｜｜MX｜｜
2
＞0，即f是正定的；反之，若f是正定的，则存在可逆线性变换X=PY，使f成为规范形，即P
T
AP=E，由于P可逆，故有A=(P
T
)
-1
E(P
-1
)=(P
-1
)
T
(P
-1
)=M
T
M(取M=P
-1
)．
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