解答题
[2015年] 设矩阵
相似于矩阵
相似于矩阵
问答题
16.求a，b的值；
【正确答案】因A与B相似，故tr(A)=tr(B)，即0+3+a=1+b+1，亦即3+a=2+b．①
【答案解析】
问答题
17.求可逆矩阵P，使P－1AP为对角矩阵．
【正确答案】由
得到B的特征值为λ1=λ2=1，λ3=5．因A与B相似，故A的特征值也为λ1=λ2=1，λ3=5．
下求A的属于特征值的特征向量．将λ1=λ2=1代入(λE—A)X=0得(E—A)X=0．
由
及基础解系的简便求法即得A的属于λ1=λ2=1的线性无关的特征向量：α1=[2，1，0]T，α2=[－3，0，1]T．
解(λ3E－A)X=0即解(5E－A)X=0，由
及基础解系的简便求法得到A的属于特征值λ3=5的特征向量：α3=[－1，－1，1]T．
易验证α1，α2，α3线性无关，由命题2．5．3．2(2)可知A与对角矩阵相似，令P=[α1，α2，α3]，则易验证有
得到B的特征值为λ1=λ2=1，λ3=5．因A与B相似，故A的特征值也为λ1=λ2=1，λ3=5．下求A的属于特征值的特征向量．将λ1=λ2=1代入(λE—A)X=0得(E—A)X=0．
由
及基础解系的简便求法即得A的属于λ1=λ2=1的线性无关的特征向量：α1=[2，1，0]T，α2=[－3，0，1]T．解(λ3E－A)X=0即解(5E－A)X=0，由
及基础解系的简便求法得到A的属于特征值λ3=5的特征向量：α3=[－1，－1，1]T．易验证α1，α2，α3线性无关，由命题2．5．3．2(2)可知A与对角矩阵相似，令P=[α1，α2，α3]，则易验证有
【答案解析】