单选题 设向量β可以被向量组α 1 ,α 2 ,…,α m 线性表示但不可以被向量组(Ⅰ)α 1 ,α 2 ,…,α m-1 线性表示,若记向量组(Ⅱ)α 1 ,α 2 ,…,α m-1 ,β.试讨论α m 能否被向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)线性表示?
【正确答案】正确答案:依题设,β可以被向量组α 1 ,α 2 ,…,α m 表示,即存在一组数k 1 ,k 2 ,…,k m ,使得 β=k 1 α 1 +k 2 α 2 +…+k m-1 α m-1 +k m α m ,(*) 其中k m ≠0,否则β可以被向量组(Ⅰ)表示,与题设矛盾.因此有 α m =-1/k m (k 1 α 1 +k 2 α 2 +…+k m-1 α m-1 -β), 即α m 能被向量组(Ⅱ)线性表示.由(*)可以判断α m 不能被向量组(Ⅰ)表示,否则,若α m 可被向量组(Ⅰ)表示,则必存在一组数l 1 ,l 2 ,…,l m-1 ,使得 α m =l 1 α 1 +l 2 α 2 +…+l m-1 α m-1 , 将其代入等式(*),由此β可表为(Ⅰ)的线性组合,与题设矛盾. 综上讨论,α m 能被向量组(Ⅱ)表示,但不能被向量组(Ⅰ)表示.
【答案解析】