单选题
设向量β可以被向量组α
1
,α
2
,…,α
m
线性表示但不可以被向量组(Ⅰ)α
1
,α
2
,…,α
m-1
线性表示,若记向量组(Ⅱ)α
1
,α
2
,…,α
m-1
,β.试讨论α
m
能否被向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)线性表示?
【正确答案】正确答案:依题设,β可以被向量组α
1
,α
2
,…,α
m
表示,即存在一组数k
1
,k
2
,…,k
m
,使得 β=k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
m-1
α
m-1
+k
m
α
m
,(*) 其中k
m
≠0,否则β可以被向量组(Ⅰ)表示,与题设矛盾.因此有 α
m
=-1/k
m
(k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
m-1
α
m-1
-β), 即α
m
能被向量组(Ⅱ)线性表示.由(*)可以判断α
m
不能被向量组(Ⅰ)表示,否则,若α
m
可被向量组(Ⅰ)表示,则必存在一组数l
1
,l
2
,…,l
m-1
,使得 α
m
=l
1
α
1
+l
2
α
2
+…+l
m-1
α
m-1
, 将其代入等式(*),由此β可表为(Ⅰ)的线性组合,与题设矛盾. 综上讨论,α
m
能被向量组(Ⅱ)表示,但不能被向量组(Ⅰ)表示.
【答案解析】