求微分方程y″+4y′+3y=9e
－3x
的通解．
【正确答案】正确答案：特征方程：r
2
+4r+3=0
r
1
=－1，r
2
=－3． 故对应的齐次方程y″+4y′+3y=0的通解为
=C
1
e
－x
+C
2
e
－3x
， 因为a=－3是特征值，故可设特解为 y
*
=Axe
－3x
． 因为(y
*
)′=Ae
－3x
一3Axe
－3x
， (y
*
)″=－3Ae
－3x
一3(Ae
－3x
一3Axe
－3x
)=－6Ae
－3x
+9Axe
－3x
， 代入y″+4y′+3y=9e
－3x
得 一2Ae
－3x
=9e
－3x
所以y
*
=
xe
－3x
． 故所求通解为y=C
1
e
－x
+C
2
e
－3x
－
r
1
=－1，r
2
=－3． 故对应的齐次方程y″+4y′+3y=0的通解为
=C
1
e
－x
+C
2
e
－3x
， 因为a=－3是特征值，故可设特解为 y
*
=Axe
－3x
． 因为(y
*
)′=Ae
－3x
一3Axe
－3x
， (y
*
)″=－3Ae
－3x
一3(Ae
－3x
一3Axe
－3x
)=－6Ae
－3x
+9Axe
－3x
， 代入y″+4y′+3y=9e
－3x
得 一2Ae
－3x
=9e
－3x
所以y
*
=
xe
－3x
． 故所求通解为y=C
1
e
－x
+C
2
e
－3x
－
【答案解析】解析：本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的求解．求解二阶常系数非齐次线性微分方程y″+py′+qy=f(x)的一般步骤：(1)先求出其相应的齐次方程通解
