【正确答案】y(x)在两个区间(一π，0)与[0，π]上满足的条件不同，先分别求出y(x)在这两区间上满足的微分方程及其通解，再由y(x)在x=0处的连续性、可导性求出待定常数．
(1)对(－π，0)上的曲线求出特解，先求出曲线的方程．由于曲线上任一点处的法线都过原点，曲线的法线为y=－x／y′，即ydy=一xdx，积分得曲线方程
y²=一x²+C． ①
又利用初始条件y(一π／√2)一π／√2求其特解．将其代入方程①得C=π²，从而有x²+y²=π²，
故y=(该分支由过点(一π／√2，π／√2)所确定)．
(2)再求区间(0，π)内曲线的分支，为此求出y＂+y+x=0的特解．易知y＂+y=0的通解为
y=C₁cosx+C₂sinax．
设 y＂+y+x=0 ②
的特解为y^*=ax+b，将其代入式②得到a=一1，b=0，故y^*=－x，所以方程②的通解为
y=Y+y^*=C₁cosx+C₂sinx一x． ③
(3)利用y(x)的光滑性，求出式③中的任意常数．
下面求③中的任意常数，由于y=y(x)在(一π，π)内光滑，故y在x=0处连续、可导．由其连续性有y_-(0)=y₊(0)，故C₁=π．又由可导性得y′_-(0)=y′₊(0)，而y′_-(0)=()′∣_x=0=0，y′₊(0)=(一C₁sinx+C₂cosx－1)∣_x=0=C₂—1，
故C₂一1=0，即C₂=1，于是y=y(x)的表达式为