解答题
8.[2011年] 求方程karctanx-x=0不同实根的个数，其中k为参数．
【正确答案】令f(x)=karctanx-x，则f(x)为(一∞，+∞)上的奇函数，且
f(0)=0，
(1)当k一1≤0时，f'(x)＜0(x≠0)，故f(x)在(一∞，+∞)内单调减少，方程f(x)=0只有一个实根x=0．
(2)当k一1＞0即k＞1时，由k—1—x2=0，得到
．因而当
时，f'(x)＞0，即f(x)单调增加；当
时，f'(x)＜0，f(x)单调减少，故
为f(x)在(0，+∞)内的最大值．又由于f(0)=0，其最大值
．又因
，曲线f(x)与x轴在(0，+∞)内有两个交点，除0以外还存在ξ∈(0，+∞)使f(ξ)=0．
当
时，f'(x)＞0，即f(x)单调增加，在
内f(x)单调减少，故
为f(x)在(一∞，0)内的最小值．曲线f(x)与x轴在(一∞，0)内有两个交点，除0以外，还存在一ξ∈(一∞，0)使f(一ξ)=0，故当k＞1时方程f(x)=0有三个不同实根一ξ，0，ξ，且分别位于
内．此时f(x)的草图如图所示．
f(0)=0，
(1)当k一1≤0时，f'(x)＜0(x≠0)，故f(x)在(一∞，+∞)内单调减少，方程f(x)=0只有一个实根x=0．
(2)当k一1＞0即k＞1时，由k—1—x2=0，得到
．因而当时，f'(x)＞0，即f(x)单调增加；当时，f'(x)＜0，f(x)单调减少，故为f(x)在(0，+∞)内的最大值．又由于f(0)=0，其最大值．又因，曲线f(x)与x轴在(0，+∞)内有两个交点，除0以外还存在ξ∈(0，+∞)使f(ξ)=0．当
时，f'(x)＞0，即f(x)单调增加，在内f(x)单调减少，故为f(x)在(一∞，0)内的最小值．曲线f(x)与x轴在(一∞，0)内有两个交点，除0以外，还存在一ξ∈(一∞，0)使f(一ξ)=0，故当k＞1时方程f(x)=0有三个不同实根一ξ，0，ξ，且分别位于内．此时f(x)的草图如图所示．【答案解析】