设3阶矩阵A的特征值λ
1
＝1，λ
2
＝2，λ
3
＝3对应的特征向量依次为α
1
＝(1，1，1)
T
，α
2
＝(1，2，4)
T
，α
3
＝(1，3，9)
T
．(Ⅰ)将向量β＝(1，1，3)
T
用α
1
，α
2
，α
3
线性表出；(Ⅱ)求A
n
β．
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)设χ
1
α
1
＋χ
2
α
2
＋χ
3
α
3
＝β，即
χ
1
＝2，χ
2
＝－2，χ
3
＝1 故β＝2α
1
－2α
2
＋α
3
． (Ⅱ)Aβ＝2Aα
1
－2Aα
2
＋Aα
3
，则 A
n
β＝2A
n
α
1
－2A
n
α
2
＋A
n
α
3
＝2α
1
－2.2
n
α
2
＋3
n
α
3
＝
χ
1
＝2，χ
2
＝－2，χ
3
＝1 故β＝2α
1
－2α
2
＋α
3
． (Ⅱ)Aβ＝2Aα
1
－2Aα
2
＋Aα
3
，则 A
n
β＝2A
n
α
1
－2A
n
α
2
＋A
n
α
3
＝2α
1
－2.2
n
α
2
＋3
n
α
3
＝
【答案解析】