【正确答案】取x₀=0，由拉格朗日中值定理知，对任意x∈(一1，1)，x≠0，存在θ∈(0，1)使f(x)=f(0)+xf'(θx)，其中θ与x有关．由f''(x)连续且f''(x)≠0知，f''(x)在(-1，1)内不变号．因为如果f''(x)变号，则由f''(x)连续，利用零点定理知，必有x₀存在，使f''(x₀)=0，与f''(x)≠0矛盾．不妨设f''(x)＞0，则f'(x)在(一1，1)内严格单增，故上题中的θ唯一确定．

【正确答案】为求θ(x)(x→0)的极限，需由f(x)=f(0)+xf'(θx)①解出θ(x)．利用f(x)=f(0)+xf'(θx)可用下述三种方法解出θ(x)，证明．
对f'(θx)再用拉格朗日中值定理，得到
f'(θx)=f'(0)+f''(ξ)(θx) (ξ在θx与0之间)．
将其代入式①，解得
两边取极限，利用二阶导数的连续性得到