解答题
24.设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f''(x)＞0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数．
【正确答案】对任意的x1，x2∈(a，b)且x1≠x2，取x0=
，由泰勒公式得
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+
(x-x0)2，其中ξ介于x0与x之间．
因为f''(x)＞0，所以f(x)≥f(x0)+f'(x0)(x-x0)，“=”成立当且仅当x=x0，
从而
两式相加得
，由泰勒公式得f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+
(x-x0)2，其中ξ介于x0与x之间．因为f''(x)＞0，所以f(x)≥f(x0)+f'(x0)(x-x0)，“=”成立当且仅当x=x0，
从而
两式相加得
【答案解析】