解答题
证明r(A)=1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT，使A=abT．
【正确答案】
【答案解析】充分性：设a=(a1，a2，…，an)T，b=(b1，b2，…，bm)T，设a1b1≠0，根据矩阵秩的性质r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，因为A=abT，所以r(A)≤r(a)=1．
另一方面，根据假设a1b1≠0可知，A的第一行第一列的元素a1b1≠0，所以r(A)≥1．
综上所述r(A)=1．
必要性：设A=(aij)m×n，因r(A)=1，设a11≠0，由矩阵的等价可知，存在m阶可逆阵P和n，阶可逆阵Q，使
，
于是
，
其中
另一方面，根据假设a1b1≠0可知，A的第一行第一列的元素a1b1≠0，所以r(A)≥1．
综上所述r(A)=1．
必要性：设A=(aij)m×n，因r(A)=1，设a11≠0，由矩阵的等价可知，存在m阶可逆阵P和n，阶可逆阵Q，使
，于是
，其中