设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，f(1／2)=1，f(1)=0．证明：
问答题
存在η∈(1／2，1)，使得f(η)=η；
【正确答案】正确答案：令φ(x)=f(x)－x，φ(x)在[0，1]上连续，φ(1／2)=1／2＞0，φ(1)=－1＜0，由零点定理，存在η∈(1／2，1)，使得φ(η)=0，即f(η)=η．
【答案解析】
问答题
对任意的k∈(－∞，+∞)，存在ξ∈(0，η)，使得f'(ξ)－k[f(ξ)－ξ]=1．
【正确答案】正确答案：设F(x)=e
－kx
φ(x)，显然F(x)在[0，η]上连续，在(0，η)内可导，且F(0)=F(η)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，η)，使得F'(ξ)=0，整理得f'(ξ)－k[f(ξ)－ξ]=1．
【答案解析】