解答题
设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量．
问答题
20.证明α，Aα线性无关．
【正确答案】若α，Aα线性相关，则存在不全为零的数k1，k2，使得k1α+k2Aα=0，设k2≠0，则Aα=
【答案解析】
问答题
21.若A2α+Aα－6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化．
【正确答案】由A2α+Aα－6α=0，得(A2+A－6E)α=0，
因为α≠0，所以r(A2+A－6E)＜2，从而｜A2+A－6E｜=0，即
｜3E+A｜.｜2E－A｜=0，则｜3E+A｜=0或｜2E－A｜=0．
若｜3E+A｜≠0，则3E+A可逆，由(3E+A)(2E－A)α=0，得
(2E－A)α=0，即Aα=2a，矛盾；
若｜2E－A｜≠0，则2E－A可逆，由(2E－A)(3E+A)α=0，得
(3E+A)α=0，即Aα=－3α，矛盾，所以有｜3E+A｜=0且｜2E－A｜=0，于是二阶矩阵A有两个特征值－3，2，故A可对角化．
因为α≠0，所以r(A2+A－6E)＜2，从而｜A2+A－6E｜=0，即
｜3E+A｜.｜2E－A｜=0，则｜3E+A｜=0或｜2E－A｜=0．
若｜3E+A｜≠0，则3E+A可逆，由(3E+A)(2E－A)α=0，得
(2E－A)α=0，即Aα=2a，矛盾；
若｜2E－A｜≠0，则2E－A可逆，由(2E－A)(3E+A)α=0，得
(3E+A)α=0，即Aα=－3α，矛盾，所以有｜3E+A｜=0且｜2E－A｜=0，于是二阶矩阵A有两个特征值－3，2，故A可对角化．
【答案解析】