设A为n阶实对称矩阵，满足A
2
=E，并且r(A+E)=k＜n．
①求二次型x
T
Ax的规范形．
②证明B=E+A+A
2
+A
3
+A
4
是正定矩阵，并求|B|．
【正确答案】正确答案：①由于A
2
=E，A的特征值λ应满足λ
2
=1，即只能是1和一1．于是A+E的特征值只能是2和0．A+E也为实对称矩阵，它相似于对角矩阵∧，∧的秩等于r(A+E)=k．于是A+E的特征值是2(k重)和0(n一k重)，从而A的特征值是1(k重)和一l(n一k重)．A的正，负关系惯性指数分别为k和n一k，x
T
Ax的规范形为 y
1
2
+y
2
2
+…+y
k
2
一y
k+1
2
一…一y
n
2
． ②B是实对称矩阵．由A
2
=E，有B=3E+2A，B的特征值为5(k重)和1(n一k重)都是正数．因此B是正定矩阵． ∴ |B|=5
k
.1
n-k
=5
k
．
【答案解析】