设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α
1
=(-1，2，-1)
T
，α
2
=(0，-1，1)
T
是线性方程组Ax=0的两个解。
(Ⅰ)求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得Q
T
AQ=A。
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以有
则λ=3是矩阵A的特征值，α=(1，1，1)
T
是对应的特征向量。对应λ=3的全部特征向量为kα=k(1，1，1)
T
，其中k是不为零的常数。 又由题设知Aα
1
=0，Aα
2
=0，即Aα
1
=0.α
1
，Aα
2
=0.α
2
，而且α
1
，α
2
线性无关，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α
1
，α
2
是其对应的特征向量，因此对应λ=0的全部特征向量为 k
1
α
1
+k
2
α
2
=k
1
(-1，2，-1)
T
+k
2
(0，-1，1)
T
，其中k
1
，k
2
是不全为零的常数。 (Ⅱ)因为A是实对称矩阵，所以α与α
1
，α
2
正交，只需将α
1
与α
2
正交化。 由施密特正交化法，取 β
1
=α
1
，β
2
=α
2
-
再将α，β
2
，β
2
单位化，得
令Q=(η
1
，η
2
，η
3
)，则Q
-1
=Q
T
，且 Q
T
AQ=
则λ=3是矩阵A的特征值，α=(1，1，1)
T
是对应的特征向量。对应λ=3的全部特征向量为kα=k(1，1，1)
T
，其中k是不为零的常数。 又由题设知Aα
1
=0，Aα
2
=0，即Aα
1
=0.α
1
，Aα
2
=0.α
2
，而且α
1
，α
2
线性无关，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α
1
，α
2
是其对应的特征向量，因此对应λ=0的全部特征向量为 k
1
α
1
+k
2
α
2
=k
1
(-1，2，-1)
T
+k
2
(0，-1，1)
T
，其中k
1
，k
2
是不全为零的常数。 (Ⅱ)因为A是实对称矩阵，所以α与α
1
，α
2
正交，只需将α
1
与α
2
正交化。 由施密特正交化法，取 β
1
=α
1
，β
2
=α
2
-
再将α，β
2
，β
2
单位化，得
令Q=(η
1
，η
2
，η
3
)，则Q
-1
=Q
T
，且 Q
T
AQ=
【答案解析】