解答题 12.设α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t线性无关，其中α₁，α₂，…，α_s是齐次方程组AX＝0的基础解系．证明Aβ₁，Aβ₂，…，Aβ_t线性无关．

【正确答案】设c₁Aβ₁＋c₂Aβ₂＋…＋c_tAβ_t＝0．则A(c₁β₁＋c₂β₂…＋c_tβ_t)＝0即c₁β₁＋c₂β₂＋…＋c_tβ_t是AX＝0的一个解．于是它可以用α₁，α₂，…，α_s线性表示：
c₁β₁＋c₂β₂＋…＋c_tβ_t＝t₁β₁＝t₂α₂＋tα＋…＋t_sα_s，
再由α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_s线性无关，得所有系数都为0．

【答案解析】