设3阶实对称矩阵A的特征值为λ
1
=一1，λ
2
=λ
3
=1，对应于A。的特征向量为ξ
1
=(0，1，1)
T
，求A．
【正确答案】正确答案：对应于λ
2
=2=λ
3
=1有两个线性无关的特征向量ξ
2
，ξ
3
，它们都与ξ
1
正交，故可取
【答案解析】解析：本题考查实对称矩阵的性质、齐次线性方程组的基础解系的求法及方阵对角化的应用.现再对几个有关问题加以说明： (1)关于属于λ
2
=2=λ
3
=1的特征向量的求法：设
为属于λ
2
=2=λ
3
=1的特征向量，则由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交的性质，有ξ
1
⊥X，即0x
1
+x
2
+x
3
=0，其系数矩阵为[0 1 1]，它的秩为1，因此对应齐次线性方程含1个约束未知量，若取x
2
为约束未知量，则余下来的未知量x
1
和x
2
就是自由未知量，分别令x
1
=1，x
3
=0和x
1
=0，x
3
=一1，代入由自由未知量表示的通解x
2
=0x
1
一x
3
，即得基础解系；
为属于λ
2
=2=λ
3
=1的特征向量，则由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交的性质，有ξ
1
⊥X，即0x
1
+x
2
+x
3
=0，其系数矩阵为[0 1 1]，它的秩为1，因此对应齐次线性方程含1个约束未知量，若取x
2
为约束未知量，则余下来的未知量x
1
和x
2
就是自由未知量，分别令x
1
=1，x
3
=0和x
1
=0，x
3
=一1，代入由自由未知量表示的通解x
2
=0x
1
一x
3
，即得基础解系；