设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且｜f"(x)｜＜1，又f(0)=f(1)，证明：对于
，x
2
∈[0，1]，有
，x
2
∈[0，1]，有
【正确答案】正确答案：联系f(x
1
)-f(x
2
)与f"(x)的是拉格朗日中值定理．不妨设0≤x
1
≤x
2
≤1．分两种情形： 1)若x
2
-x
1
＜
，直接用拉格朗日中值定理得 ｜f(x
1
)-f(x
2
)｜=｜f"(ξ)(x
2
-x
1
)｜=｜f"(ξ)｜｜x
2
-x
1
｜＜
2)若x
2
-x
1
≥
，当0＜x
1
＜x
2
＜1时，利用条件f(0)=f(1)分别在[0，x
1
]与[
2
，1]上用拉格朗日中值定理知存在ξ∈(0，x
1
)，η∈(x
2
，1)使得 ｜f(x
2
)-f(x
2
)｜=｜[f(x
1
)-f(0)]-[f(x
2
)-f(1)]｜ ≤｜f(x
1
)-f(0)｜+｜f(1)-f(x
2
)｜ =｜f"(ξ)x
1
｜+｜f"(η)(1-x
2
)｜ ＜x
1
+(1-x
2
)=1-(x
2
-x
1
)≤
① 当x
1
=0且x
2
≥
时，有 ｜f(x
1
)-f(x
2
)｜=｜f(0)-f(x
2
)｜=｜f(1)-f(x
2
)｜=｜f"(η)(1-x
2
)｜≤
②当x
1
≤
且x
2
=1时，同样有 ｜f(x
1
)-f(x
2
)｜=｜f(x
1
)-f(1)｜=｜f(x
1
)-f(0)｜=｜f"(ξ)(x
1
-0)｜≤
因此对于任何x
1
，x
2
∈[0，1]总有｜f(x
1
)-f(x
2
)｜＜
，直接用拉格朗日中值定理得 ｜f(x
1
)-f(x
2
)｜=｜f"(ξ)(x
2
-x
1
)｜=｜f"(ξ)｜｜x
2
-x
1
｜＜
2)若x
2
-x
1
≥
，当0＜x
1
＜x
2
＜1时，利用条件f(0)=f(1)分别在[0，x
1
]与[
2
，1]上用拉格朗日中值定理知存在ξ∈(0，x
1
)，η∈(x
2
，1)使得 ｜f(x
2
)-f(x
2
)｜=｜[f(x
1
)-f(0)]-[f(x
2
)-f(1)]｜ ≤｜f(x
1
)-f(0)｜+｜f(1)-f(x
2
)｜ =｜f"(ξ)x
1
｜+｜f"(η)(1-x
2
)｜ ＜x
1
+(1-x
2
)=1-(x
2
-x
1
)≤
① 当x
1
=0且x
2
≥
时，有 ｜f(x
1
)-f(x
2
)｜=｜f(0)-f(x
2
)｜=｜f(1)-f(x
2
)｜=｜f"(η)(1-x
2
)｜≤
②当x
1
≤
且x
2
=1时，同样有 ｜f(x
1
)-f(x
2
)｜=｜f(x
1
)-f(1)｜=｜f(x
1
)-f(0)｜=｜f"(ξ)(x
1
-0)｜≤
因此对于任何x
1
，x
2
∈[0，1]总有｜f(x
1
)-f(x
2
)｜＜
【答案解析】