问答题
给定线性方程组Ax=b，这里A∈R
n×n
为非奇异矩阵，b∈R
n
，x∈R
n
．设有下面的迭代格式x
(k+1)
=x
(k)
+ω(b-Ax
(k)
)，k=0，1，2，…，(A)其中ω≠0为常数．
1)证明：如果迭代格式(A)收敛，则迭代序列
收敛于方程Ax=b的解；
2)设n=2，
收敛于方程Ax=b的解；
2)设n=2，
【正确答案】正确答案：1)设迭代格式(A)收敛，不妨设
．在(A)式两边取极限得x
*
=x
*
+ω(b-Ax
*
)．由于ω≠0，所以b—Ax
*
=0，即x
*
是方程Ax=b的解． 2)将(A)改写为x
k+1
=(I—ωA)x
(k)
+ωb．根据迭代法收敛定理可知该迭代格式收敛的充要条件是ρ(I—ωA)＜1．迭代矩阵I—ωA的特征方程是
．在(A)式两边取极限得x
*
=x
*
+ω(b-Ax
*
)．由于ω≠0，所以b—Ax
*
=0，即x
*
是方程Ax=b的解． 2)将(A)改写为x
k+1
=(I—ωA)x
(k)
+ωb．根据迭代法收敛定理可知该迭代格式收敛的充要条件是ρ(I—ωA)＜1．迭代矩阵I—ωA的特征方程是
【答案解析】