(1998年试题，五)利用代换
【正确答案】正确答案：题设所给方程为变系数方程，可由代换
将其化为关于u的二阶微分方程再求解，应先由
求得y
"
，y
""
与u
"
，u
""
的关系如下，将y=usecx两边对x求导，得y
"
=u
"
8ecx+secx.tanx，(1)再由(1)式两边对x求导，得y
""
=u
""
secx+2u
"
se
"
cx.tanx+usecx.tan
2
x+usec
3
x(2)将式(1)，式(2)代入原方程，得u
""
+4u=e
x
，该方程是关于u的二阶常系数线性非齐次方程，先求其相应的齐次方程的通解，由特征方程λ
2
+4=0求得特征值为λ
1
=2i，λ
2
=一2i，从而齐次方程通解为y=C
1
cos2x+C
2
sin2x，设方程特解为y
*
=Ae
x
，代回方程u
""
+4u=e
x
，得
因此
，因此非齐次方程通解为
其中C
1
，C
2
为任意常数．由代换
原方程通解为
将其化为关于u的二阶微分方程再求解，应先由
求得y
"
，y
""
与u
"
，u
""
的关系如下，将y=usecx两边对x求导，得y
"
=u
"
8ecx+secx.tanx，(1)再由(1)式两边对x求导，得y
""
=u
""
secx+2u
"
se
"
cx.tanx+usecx.tan
2
x+usec
3
x(2)将式(1)，式(2)代入原方程，得u
""
+4u=e
x
，该方程是关于u的二阶常系数线性非齐次方程，先求其相应的齐次方程的通解，由特征方程λ
2
+4=0求得特征值为λ
1
=2i，λ
2
=一2i，从而齐次方程通解为y=C
1
cos2x+C
2
sin2x，设方程特解为y
*
=Ae
x
，代回方程u
""
+4u=e
x
，得
因此
，因此非齐次方程通解为
其中C
1
，C
2
为任意常数．由代换
原方程通解为
【答案解析】解析：本题在化简原方程时，也可由代换u=ycosx两边对x求导，得u
"
=y
"
cosx—ysinx，(3)再由式(3)两边对x求导，得u
""
=y
""
cosx一2y
"
sinx—ycosx(4)式(3)，式(4)与式(1)，式(2)是等价的，代入原方程都可得出同样的方程u
""
+4u=e
x