解答题 5.试证明n维列向量组α1,α2,…,αn线性无关的充分必要条件是行列式
【正确答案】
记n阶矩阵A[α1与α2…αn],则α1与α2…αn线性无关的充分必要条件是∣A∣≠0.
另一方面,由
【答案解析】本题主要考查满秩方阵性质的应用及矩阵乘法的概念.注意,矩阵乘法的本质是“在行乘右列”,由此可知矩阵(αiTαj)m×n的第i行[αTiα1αTiα2…αTiαn]可以写成αTi1 α2… αn],因此可将矩阵 (αTij)m×n写成ATA的形式,从而建立起行列式D与∣A∣的关系,这是本题证明之关键.