设n阶矩阵
问答题 求A的特征值和特征向量;
【正确答案】正确答案:1° 当b≠0时, |λE A|= =[λ一1一(n一1)b][λ一(1—b) n—1 , 故A的特征值为λ 1 =1+(n一1)b,λ 2 =…=λ n =1一b. 对于λ 1 =1+(n一1)b,设对应的一个特征向量为ξ 1 ,则 1 =[1+(n一1)b]ξ 1 解得ξ 1 =(1,1,…,1) T ,所以,属于λ 1 的全部特征向量为 kξ 1 =k(1,1,…,1) T ,其中k为任意非零常数. 对于λ 2 =…=λ n =1—b,解齐次线性方程组[(1—b)E—A]x=0.由
【答案解析】
问答题 求可逆矩阵P,使P —1 AP为对角矩阵.
【正确答案】正确答案:1° 当b≠0时,A有n个线性无关的特征向量,令矩阵P=[ξ 1 ξ 2 … ξ n ],则有 P —1 AP=diag(1+(n一1)b,1—b,…,1—b). 2° 当b=0时,A=E,对任意n阶可逆矩阵P,均有P —1 AP=E.
【答案解析】