问答题
设A为三阶矩阵，有三个不同特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3．
问答题
证明：β不是A的特征向量
【正确答案】证一 假设β为A的特征向量，则存在λ0，使Aβ=λ0β，即
得(λ1-λ0)α1+(λ2-λ0)α2+(λ3-λ0)α3=0．由α1，α2，α3线性无关知从而有λ1=λ2=λ3，这与已知条件矛盾，因此β不是A的特征向量．
证二 因α1，α2，α3是属于不同特征值的特征向量，故α1+α2+α3必不是A的
得(λ1-λ0)α1+(λ2-λ0)α2+(λ3-λ0)α3=0．由α1，α2，α3线性无关知从而有λ1=λ2=λ3，这与已知条件矛盾，因此β不是A的特征向量．
证二 因α1，α2，α3是属于不同特征值的特征向量，故α1+α2+α3必不是A的
【答案解析】[解析] 可用反证法证之
问答题
β，Aβ，A2β线性无关
【正确答案】设k1β1+k2Aβ+k3A2β=0，
则
则
【答案解析】[解析] 用线性无关定义证明
问答题
若A3β=Aβ，计算行列式|2A+3E|
【正确答案】由题设有
A[β，Aβ，A2β]=[Aβ，A2β，A3β]=[Aβ，A2β，Aβ]=[β，Aβ，A2β]
，
令P=[β，Aβ，A2β]，则P可逆，且
，
于是P-1(2A+3E)P=2B+3E，
从而|2A+3E|=|2B+3E|=
A[β，Aβ，A2β]=[Aβ，A2β，A3β]=[Aβ，A2β，Aβ]=[β，Aβ，A2β]
，令P=[β，Aβ，A2β]，则P可逆，且
，于是P-1(2A+3E)P=2B+3E，
从而|2A+3E|=|2B+3E|=
【答案解析】[解析] 因β，Aβ，A2β线性无关，用矩阵表示法可求出A的相似矩阵B，由|A|=|B|得
|2B+3E|=|2A+3E|．
|2B+3E|=|2A+3E|．