解答题
21.设f(x)连续，证明：∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xf(t)(x-t)dt．
【正确答案】今F(x)=∫0xf(t)dt，则F'(x)=f(x)，于是∫0x[∫0tf(u)du]dt=∫0xF(t)dt，
∫0xf(t)(x-t)dt=x∫0xf(x)dt-∫0xtf(t)dt=xF(x)-∫0xtdF(t)
=xF(x)-tF(t)｜0x+∫0xF(t)dt=∫0xF(t)dt．
命题得证．
方法二 因为
∫0x[∫0xf(u)du]dt=∫0xf(u)du，
∫0xf(t)(x-t)dt=
∫0xf(t)(x-t)dt=x∫0xf(x)dt-∫0xtf(t)dt=xF(x)-∫0xtdF(t)
=xF(x)-tF(t)｜0x+∫0xF(t)dt=∫0xF(t)dt．
命题得证．
方法二 因为
∫0x[∫0xf(u)du]dt=∫0xf(u)du，∫0xf(t)(x-t)dt=【答案解析】