【正确答案】因为矩阵A是对称矩阵，所以其特征值都是实数，且对应的特征向量都线性无关，先求出特征值，然后求出相应的特征向量，最后把特征向量正交单位化就可以求出正交矩阵．
(1)首先求特征值．
｜λI一A｜==λ²(λ一4)，
特征值为λ₁=0(三重)，λ₂=4．
(2)其次求特征向量．
当λ₁=0时，求(λ₁I—A)x=0的基础解系

解之得基础解系为
α₁=(一1，1，0，0)^T，α₂=(一1，0，1，0)^T，
α₃=(一1，0，0，1)^T，
将α₁，α₂，α₃正交化，得
β₁一α₁=(一1，1，0，0)^T，

再将β₁，β₂，β₃单位化，得

当λ₂=4时．求(λ₂I一A)x=0的基础解系

得基础解系为 α₄=(1，1，1，1)^T，
将α₄=(1，1，1，1)^T单位化，得
η₄=(1，1，1，1)^T．
(3)令P=(η₁，η₂，η₃，η₄)，则有
P^TAP=