问答题
设f(x)在(-∞，+∞)上存在二阶导数，f(0)＜0，f'(0)=a，f"(x)＞0．
证明：
1.无论a＞0，a＜0，还是a=0，f(x)至多有两个零点，至少有一个零点；
证明：
1.无论a＞0，a＜0，还是a=0，f(x)至多有两个零点，至少有一个零点；
【正确答案】若f(x)有三个或三个以上零点，则由罗尔定理知，f'(x)至少有两个零点．对f'(x)再用罗尔定理知，f"(x)至少有一个零点．与题设f"(x)无零点矛盾．以下证f(x)至少有一个零点．
设f'(0)=a＞0，由泰勒公式：
，当x≠0，取
，有f(x)＞0．由介值定理知，在区间(0，+∞)上f(x)至少有一个零点．又因当x＞0时f'(x)＞f'(0)＞0，故在区间(0，+∞)上至多有一个零点，故正好有一个零点．
设f'(0)=a＜0，类似可证在区间(-∞，0)上正好有一个零点．
设f'(0)=a=0，由连续函数保号性及f'(x)严格单增知，存在δ＞0，当x∈[0，δ]时f(x)＜0且f'(δ)＞0．
在点x=δ处用泰勒公式，有
＞f(δ)+f'(δ)(x-δ)， 当x＞δ．
取
设f'(0)=a＞0，由泰勒公式：
，当x≠0，取，有f(x)＞0．由介值定理知，在区间(0，+∞)上f(x)至少有一个零点．又因当x＞0时f'(x)＞f'(0)＞0，故在区间(0，+∞)上至多有一个零点，故正好有一个零点．设f'(0)=a＜0，类似可证在区间(-∞，0)上正好有一个零点．
设f'(0)=a=0，由连续函数保号性及f'(x)严格单增知，存在δ＞0，当x∈[0，δ]时f(x)＜0且f'(δ)＞0．
在点x=δ处用泰勒公式，有
＞f(δ)+f'(δ)(x-δ)， 当x＞δ．
取
【答案解析】
【正确答案】方法1 由(Ⅰ)已证，在区间(-∞，0)或(0，+∞)上正好有一个零点．所以若共有两个零点，则必反号．
方法2 用反证法，设f(x)有两个零点x1与x2，它们同号，不妨设0＜x1＜x2．在区间[0，x1]与[x1，x2]分别用拉格朗日中值定理，有
f(x1)-f(0)=f'(ξ1)x1， (*)
f(x2)-f(x1)=f'(ξ2)(z2-x1)． (**)
由(*)有f'(ξ1)＞0，由(**)有f'(ξ2)=0，得f'(ξ1)＞f(ξ2)，但ξ1＜ξ2，与f"(x)＞0矛盾．所以x1与x2必反号．
方法2 用反证法，设f(x)有两个零点x1与x2，它们同号，不妨设0＜x1＜x2．在区间[0，x1]与[x1，x2]分别用拉格朗日中值定理，有
f(x1)-f(0)=f'(ξ1)x1， (*)
f(x2)-f(x1)=f'(ξ2)(z2-x1)． (**)
由(*)有f'(ξ1)＞0，由(**)有f'(ξ2)=0，得f'(ξ1)＞f(ξ2)，但ξ1＜ξ2，与f"(x)＞0矛盾．所以x1与x2必反号．
【答案解析】