设B是可逆阵,A和B同阶,且满足A 2 +AB+B 2 =O.证明:A和A+B都是可逆阵,并求A -1 和(A+B) -1
【正确答案】正确答案:由题设:A 2 +AB+B 2 =O,得 A(A+B)=-B 2 . ① ①式右乘(-B 2 ) -1 ,得A(A+B)(-B 2 ) -1 =E,得A可逆,且 A -1 =(A+B)(-B 2 ) -1 . ①式左乘(-B 2 ) -1 ,得(-B 2 ) -1 A(A+B)=E,得A+B可逆,且 (A+B) -1 =(-B 2 ) -1 A.
【答案解析】