解答题
4.(09年)设曲线y＝f(χ)，其中f(χ)是可导函数，且f(χ)＞0．已知曲线y＝f(χ)与直线y＝0，χ＝1及χ＝t(t＞1)所围成的曲边梯形绕χ轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线的方程．
【正确答案】由题设可知旋转体体积为V＝∫1tf2(χ)dχ
曲边梯形的面积为S＝∫1tf(χ)dχ
由题设可知，π∫1tf2(χ)dχ＝πt∫1tf(χ)dχ
即∫1tf2(χ)dχ＝t∫1tf(χ)dχ
上式两端对t求导得
f2(t)＝∫1tf(χ)dχ＋tf(t) (*)
继续求导得2f(t)f′(t)＝f(t)＋f(t)＋tf′(t)
即(2y－t)
＝2y (其中y＝f(t)) 
在(*)式中令t＝1得f2(1)＝f(1)，即f(1)＝1或f(1)＝0．而由题设知f(t)＞1，则f(1)＝1，代入t＝
知，C＝
，即t＝
．
则所求曲线方程为2y＋
－3χ＝0．
曲边梯形的面积为S＝∫1tf(χ)dχ
由题设可知，π∫1tf2(χ)dχ＝πt∫1tf(χ)dχ
即∫1tf2(χ)dχ＝t∫1tf(χ)dχ
上式两端对t求导得
f2(t)＝∫1tf(χ)dχ＋tf(t) (*)
继续求导得2f(t)f′(t)＝f(t)＋f(t)＋tf′(t)
即(2y－t)
＝2y (其中y＝f(t)) 在(*)式中令t＝1得f2(1)＝f(1)，即f(1)＝1或f(1)＝0．而由题设知f(t)＞1，则f(1)＝1，代入t＝
知，C＝，即t＝．则所求曲线方程为2y＋
－3χ＝0．【答案解析】