解答题
20.设函数f(x)在x＝x0的某邻域U内存在连续的二阶导数．
(I)设当h>0，(x0－h)∈U，(x0﹢h)∈U，恒有
f(x0)<
(I)设当h>0，(x0－h)∈U，(x0﹢h)∈U，恒有
f(x0)<
【正确答案】(I)由条件，当h>0充分小，(x0±h)∈U，有
f(x0﹢h)－f(x0)﹢f(x0﹣h)－f(x0)＞0．
则由拉格朗日中值定理，有
f’(ξ2)h﹢f’(ξ1)(－h)﹥0，
其中x0－h<ξ1＜x0﹤ξ2＜x0﹢h．又因为h>0，得
f’(ξ2)－f’(ξ1)>0．
再在区间[ξ1，ξ2]上用拉格朗日中值定理，有
f”(ξ)(ξ2－ξ1)﹥0，
其中x0－h＜ξ1＜ξ2＜x0﹢h．由此推得f”(ξ)＞0．再令h→0，得ξ→x3，并且得f”(x0)≥0．
证毕．
(Ⅱ)由题设f”(x)在x＝x0的邻域U内连续，且f”(x0)>0，故存在h>0，使x0－h，x0﹢h]
U且在区间[x0－h，x0﹢h]内f”(x)>0．将f(x)按(x－x0)的幂展开的泰勒公式，有
f(x)＝f(x0)﹢f’(x0)(x－x0)﹢
f”(ξ)(x－x0)2
＞f(x0)﹢f’(x0)(x－x0)，
其中ξ∈(x,x0)(或(x0，x))，x∈[x0－h，x0﹢h，x≠x0．取x＝(x0﹢h)∈U，得
f(x0﹢h)﹥f(x0)﹢f’(x0)h；
取x＝(x0－h)∈U，得 f(x0－h)＞f(x0)－f’(x0)h．
从而有 f(x0﹢h)﹢f(x0－h)＞2f(x0)，
即f(x0)＜
f(x0﹢h)－f(x0)﹢f(x0﹣h)－f(x0)＞0．
则由拉格朗日中值定理，有
f’(ξ2)h﹢f’(ξ1)(－h)﹥0，
其中x0－h<ξ1＜x0﹤ξ2＜x0﹢h．又因为h>0，得
f’(ξ2)－f’(ξ1)>0．
再在区间[ξ1，ξ2]上用拉格朗日中值定理，有
f”(ξ)(ξ2－ξ1)﹥0，
其中x0－h＜ξ1＜ξ2＜x0﹢h．由此推得f”(ξ)＞0．再令h→0，得ξ→x3，并且得f”(x0)≥0．
证毕．
(Ⅱ)由题设f”(x)在x＝x0的邻域U内连续，且f”(x0)>0，故存在h>0，使x0－h，x0﹢h]
U且在区间[x0－h，x0﹢h]内f”(x)>0．将f(x)按(x－x0)的幂展开的泰勒公式，有f(x)＝f(x0)﹢f’(x0)(x－x0)﹢
f”(ξ)(x－x0)2＞f(x0)﹢f’(x0)(x－x0)，
其中ξ∈(x,x0)(或(x0，x))，x∈[x0－h，x0﹢h，x≠x0．取x＝(x0﹢h)∈U，得
f(x0﹢h)﹥f(x0)﹢f’(x0)h；
取x＝(x0－h)∈U，得 f(x0－h)＞f(x0)－f’(x0)h．
从而有 f(x0﹢h)﹢f(x0－h)＞2f(x0)，
即f(x0)＜
【答案解析】