【正确答案】设F(x)=f(x)-x，则F(x)在[0，1]上连续．
由于0＜f(x)＜1，所以
F(0)=f(0)＞0，F(1)=f(1)-1＜0，
由介值定理知，在(0，1)内至少存在一点ξ，使F(ξ)=0，即f(ξ)=ξ．
假设有两个x₁，x₂∈(0，1)，且x₁≠x₂，使F(x₁)=F(x₂)=0，则由罗尔定理，存在η∈(0，1)，使f’(η)=f’(η)-1=0，这与f’(x)≠1矛盾，故f(x)=x有且仅有一个实根．