问答题
设f(x)在[a，b]上二阶可导且f"(x)＞0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数．
【正确答案】
【答案解析】[证明] 对任意的x
1
，x
2
∈(a，b)且x
1
≠x
2
，取
，由泰勒公式得
f(x)=f(x 0 )+f"(x 0 )(x-x 0 )+
(x-x
0
)
2
，其中ξ介于x
0
与x之间．
因为f"(x)＞0，所以f(x)≥f(x 0 )+f"(x 0 )(x-x 0 )，“=”成立当且仅当“x=x 0 ”，
从而
两式相加得
，由泰勒公式得
f(x)=f(x 0 )+f"(x 0 )(x-x 0 )+
(x-x
0
)
2
，其中ξ介于x
0
与x之间．
因为f"(x)＞0，所以f(x)≥f(x 0 )+f"(x 0 )(x-x 0 )，“=”成立当且仅当“x=x 0 ”，
从而
两式相加得