解答题
设f(x)连续,且F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt.证明:
问答题
5.若f(x)是偶函数,则F(x)为偶函数;
【正确答案】0x(-x+2u)f(-u)(-du)
设f(-x)=f(x),因为F(-x)=∫
0-x(-x-2t)f(t)dt

【答案解析】
问答题
6.若f(x)单调不增,则F(x)单调不减.
【正确答案】F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt=x∫0xf(t)dt-2∫0xtf(t)dt
F'(x)=∫0xf(t)dt-xf(x)=x[f(ξ)-f(x)],其中ξ介于0与x之间
当x<0时,x≤ξ≤0,因为f(x)单调不增,所以F'(x)≥0,
当x≥0时,0≤ξ≤x,因为f(x)单调不增,所以F'(x)≥0,
从而F(x)单调不减.
【答案解析】