证明题已知{a_n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A_n,第n项之后各项a_n+1，a_n+2．…的最小值记为B_n,d_n=A_n－B_n．

问答题 1.若{a_n}为2，l，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N^*，a_n+4=a_n)，写出d₁，d₂，d₃，d₄的值；

【正确答案】d₁=d₂=1，d₃=d₄=3．

【答案解析】

问答题 2.设d是非负整数，证明：d_n=－d(n=1，2，3，…)的充分必要条件为{a_n}是公差为d的等差数列；

【正确答案】(充分性)因为{a_n}是公差为d的等差数列，且d≥0，所以a₁≤a₂≤…≤a_n≤…．因此A_n=a_n，B_n=a_n+1，d_n=a_n－a_n+1=－d(n=1，2，3，…)．
(必要性)因为d，=－d≤0(n=1，2，3，…)，所以A_n=B_n+d_n≤B_n．又因为a_n≤A_n，a_n+1≥B_n，所以a_n≤a_n+1．于是A_n=a_n,B_n=a_n+1，因此a_n+1－a_n=B_n－A_n=－d_n=d，即{a_n}是公差为d的等差数列．

【答案解析】

问答题 3.证明：若a₁=2，d_n=1(n=1，2，3，…)，则{a_n}的项只能是1或2，且有无穷多项为1．

【正确答案】因为a₁=2，d₁=1，所以A₁=a₁=2，B₁=A₁－d₁=1．故对任意n≥1，a_n≥B₁=1．
假设数列{a_n}(n≥2)中存在大于2的项．设m为满足a_m＞2的最小正整数，则m≥2，并且对任意1≤k＜m，a_k≤2．又因为a₁=2，所以A_m-1=2，且A_m=a_m＞2．于是，B_m=A_m－d_m＞2—1=1，B_m-1=min{a_m，B_m)≥2．故d_m-1=A_m-1－B_m-1≤2—2=0，与d_m-1=1矛盾．所以对于任意n≥1，有a_n≤2，即非负整数列{a_n}的各项只能为1或2．因为对任意n≥1，a_n≤2－a₁，所以A_n=2．故B_n=A_n－d_n=2—1=1．因此对于任意正整数n，存在m满足m＞n，且a_m=1，即数列{a_n}有无穷多项为1．

【答案解析】