二次型f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)＝5χ
1
2
＋5χ
2
2
＋cχ
3
2
－2χ
1
χ
2
－6χ
2
χ
3
＋6χ
1
χ
3
的秩为2，求c及此二次型的规范形，并写出相应的变换．
【正确答案】正确答案：二次型矩阵A＝
，由二次型的秩为2，即矩阵A的秩r(A)＝2，则有 ｜A｜＝24(c－3)＝0得c＝3． 用配方法求规范形和所作变换． f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)＝5χ
1
2
＋5χ
2
2
＋3χ
3
2
－2χ
1
χ
2
＋6χ
1
χ
3
－6χ
2
χ
3
＝3(χ
3
＋χ
1
－χ
2
)
2
－3(χ
1
－χ
2
)
2
＋5χ
1
2
＋5χ
2
2
－2χ
1
χ
2
＝3(χ
1
－χ
2
＋χ
3
)
2
＋2χ
1
2
＋2χ
2
2
＋4χ
1
χ
2
＝3(χ
1
－χ
2
＋χ
3
)
2
＋2(χ
1
＋χ
2
)
2
令
则f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)＝y
1
2
＋y
2
2
，为规范二次型． 所作变换为
，由二次型的秩为2，即矩阵A的秩r(A)＝2，则有 ｜A｜＝24(c－3)＝0得c＝3． 用配方法求规范形和所作变换． f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)＝5χ
1
2
＋5χ
2
2
＋3χ
3
2
－2χ
1
χ
2
＋6χ
1
χ
3
－6χ
2
χ
3
＝3(χ
3
＋χ
1
－χ
2
)
2
－3(χ
1
－χ
2
)
2
＋5χ
1
2
＋5χ
2
2
－2χ
1
χ
2
＝3(χ
1
－χ
2
＋χ
3
)
2
＋2χ
1
2
＋2χ
2
2
＋4χ
1
χ
2
＝3(χ
1
－χ
2
＋χ
3
)
2
＋2(χ
1
＋χ
2
)
2
令
则f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)＝y
1
2
＋y
2
2
，为规范二次型． 所作变换为
【答案解析】