(2007年)设函数f(χ)，g(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f〞(ξ)＝g〞(ξ)．
【正确答案】正确答案：φ(χ)＝f(χ)－g(χ)，以下分两种情况讨论： 1)若f(χ)和g(χ)在(a，b)内的同一点处c∈(a，b)取到其最大值，则φ(c)＝f(c)－g(c)＝0，又φ(a)＝φ(b)＝0，由罗尔定理知
ξ
1
∈(a，c)，使φ′(ξ
1
)＝0；
ξ
2
∈(c，B)，使φ′(ξ
2
)＝0 对φ′(χ)在[ξ
1
，ξ
2
]上用罗尔定理得，
ξ∈(ξ
1
，ξ
2
)，使φ〞(ξ)＝0 2)若f(χ)和g(χ)在(a，b)内不在同一点处取到其最大值，不妨设f(χ)和g(χ)分别在χ
1
和χ
2
(χ
1
＜χ
2
)取到其在(a，b)内的最大值，则 φ(χ
1
)＝f(χ
1
)－g(χ
1
)＞0，φ(χ
2
)＝f(χ
2
)－g(χ
2
)＜0 由连续函数的介值定理知，
ξ
1
∈(a，c)，使φ′(ξ
1
)＝0；
ξ
2
∈(c，B)，使φ′(ξ
2
)＝0 对φ′(χ)在[ξ
1
，ξ
2
]上用罗尔定理得，
ξ∈(ξ
1
，ξ
2
)，使φ〞(ξ)＝0 2)若f(χ)和g(χ)在(a，b)内不在同一点处取到其最大值，不妨设f(χ)和g(χ)分别在χ
1
和χ
2
(χ
1
＜χ
2
)取到其在(a，b)内的最大值，则 φ(χ
1
)＝f(χ
1
)－g(χ
1
)＞0，φ(χ
2
)＝f(χ
2
)－g(χ
2
)＜0 由连续函数的介值定理知，
【答案解析】