设a＝(a
1
，a
2
，…a
n
)
T
，a
1
≠0，A＝aa
T
，
(1)证明λ＝0是A的n－1重特征值；
(2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量．
【正确答案】正确答案：(1)A为对称阵，故A与对角阵∧＝diag(λ
1
，λ
2
，…，λ
n
)相似，其中λ
1
，λ
2
，…，λ
n
是A的全部特征值． 因为A＝aa
T
且a≠0，所以r(A)＝1，从而r(∧)＝1，于是∧只有一个非零对角元，因此λ＝0是A的n－1重特征值． (2)设λ
1
＝a
T
a，λ
2
＝…＝λ
n
＝0． 因为Aa＝aa
T
a＝(a
T
a)a＝λ
1
a，所以p
1
＝a是对应于λ
1
＝a
T
a的特征向量．对于λ
2
＝…＝λ
n
＝0，解方程Aχ＝0，即aa
T
χ＝0． 已知a≠0，因此a
T
χ＝0，即a
1
χ
1
＋a
2
χ
2
＋…＋a
n
χ
n
＝0，所以其余(n－1)个线性无关特征向 P
2
＝(－a
2
，a
1
，0，…，0)
T
， P
3
＝(－a
3
，0，a
1
，…，0)
T
， P
n
＝(－a
n
，0，0，…，a
1
)
T
．