设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy坐标面，其底部所占的区域为D=｜(x，y)｜x
2
+y
2
-xy≤75}，小山的高度函数为h(x，y)=75-x
2
-y
2
+xy。
(Ⅰ)设M(x
0
，y
0
)为区域D上的一点，问h(x，y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为g(x
0
，y
0
)，写出g(x
0
，y
0
)的表达式；
(Ⅱ)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一坡度最大的点作为攀登的起点。也就是说，要在D的边界线x
2
+y
2
-xy=75上找出使(Ⅰ)中g(x，y)达到最大值的点。试确定攀登起点的位置。
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)函数h(x，y)在点M处沿该点的梯度方向
(Ⅱ)求g(x，y)在条件x
2
+y
2
-xy-75=0下的最大值点与求g
2
(x，y)=(y-2x)
2
+(x-2y)
2
=5x
2
+5y
2
-8x)，在条件x
2
+y
2
-xy-75=0下的最大值点等价。这是求解条件最值问题，用拉格朗日乘数法。构造拉格朗日函数 L(x，y，λ)=5x
2
+5y
2
-8xy+λ(x
2
+y
2
-xy-75)， 则有
联立(1)，(2)解得y=-x，λ=-6或y=x，λ=-2。 若y=-x，则由(3)式得3x
2
=75，即x=±5，y=±5。 若y=x，则由(3)式得x
2
=75，即
。 于是得可能的条件极值点 M
1
(5，-5)，M
2
(-5，5)，
(Ⅱ)求g(x，y)在条件x
2
+y
2
-xy-75=0下的最大值点与求g
2
(x，y)=(y-2x)
2
+(x-2y)
2
=5x
2
+5y
2
-8x)，在条件x
2
+y
2
-xy-75=0下的最大值点等价。这是求解条件最值问题，用拉格朗日乘数法。构造拉格朗日函数 L(x，y，λ)=5x
2
+5y
2
-8xy+λ(x
2
+y
2
-xy-75)， 则有
联立(1)，(2)解得y=-x，λ=-6或y=x，λ=-2。 若y=-x，则由(3)式得3x
2
=75，即x=±5，y=±5。 若y=x，则由(3)式得x
2
=75，即
。 于是得可能的条件极值点 M
1
(5，-5)，M
2
(-5，5)，
【答案解析】