问答题
设
问答题
计算A
2
，并将A
2
用A和E表出；
【正确答案】
【答案解析】
令A 2 =xA+yE，得
令A 2 =xA+yE，得
问答题
设A是二阶方阵，当k＞2时，证明A
k
=0的充分必要条件是A
2
=0．
【正确答案】
【答案解析】充分性：A
2
=0，显然有A
k
=0(k＞2)，充分性成立．
必要性：A k =0，|A k |=|A| k =0，|A|=0，即ad-bc=0．
由第一小题知A 2 =(a+d)A+0E，得A k =(a+d) k-1 A=0，
则a+d=0或A=0，从而有A 2 =(a+d)A=0．
注：必要性也可利用r(A)=1的特点来证，A是2×2矩阵，|A|=0，故r(A)≤1．
r(A)=0时，有A=0，A 2 =0．
r(A)=1时，A=αβ T ，A 2 =(β T α)αβ T =β T αA．
A k =(β T α) k-1 A=0得β T α=0或A=0，从而有A 2 =0．
必要性：A k =0，|A k |=|A| k =0，|A|=0，即ad-bc=0．
由第一小题知A 2 =(a+d)A+0E，得A k =(a+d) k-1 A=0，
则a+d=0或A=0，从而有A 2 =(a+d)A=0．
注：必要性也可利用r(A)=1的特点来证，A是2×2矩阵，|A|=0，故r(A)≤1．
r(A)=0时，有A=0，A 2 =0．
r(A)=1时，A=αβ T ，A 2 =(β T α)αβ T =β T αA．
A k =(β T α) k-1 A=0得β T α=0或A=0，从而有A 2 =0．