解答题
设α1=(1，1，1)，α2=(1，2，3)，α3=(1，3，t)，
(1)问t为何值时，向量组α1，α2，α3线性相关；
(2)问t为何值时，向量组α1，α2，α3线性无关；
(3)当线性相关时，将α3表示为α1和α2的线性组合．
(1)问t为何值时，向量组α1，α2，α3线性相关；
(2)问t为何值时，向量组α1，α2，α3线性无关；
(3)当线性相关时，将α3表示为α1和α2的线性组合．
【正确答案】
【答案解析】[解] 方法一：用定义判别．
设有数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0，即有
此齐次方程组的系数行列式
(1)当t-5=0，即t=5时，方程有非零解，所以α1，α2，α3线性相关；
(2)当t-5≠0，即t≠5时，方程组仅有零解，故α1，α2，α3线性无关；
(3)当t=5时，设α3=x1α1+x2α2，可解得x1=-1，x2=2，于是α3=-α1+2α2．
方法二：由于α1，α2，α3是三个三维向量，故直接计算其行列式|[α1，α2，α3]|=t-5可知：
(1)当t=5时，α1，α2，α3线性相关；(2)当t≠5时，α1，α2，α3线性无关；(3)同方法一可得α3=-α1+2α2．
方法三：由于矩阵
设有数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0，即有
此齐次方程组的系数行列式
(1)当t-5=0，即t=5时，方程有非零解，所以α1，α2，α3线性相关；
(2)当t-5≠0，即t≠5时，方程组仅有零解，故α1，α2，α3线性无关；
(3)当t=5时，设α3=x1α1+x2α2，可解得x1=-1，x2=2，于是α3=-α1+2α2．
方法二：由于α1，α2，α3是三个三维向量，故直接计算其行列式|[α1，α2，α3]|=t-5可知：
(1)当t=5时，α1，α2，α3线性相关；(2)当t≠5时，α1，α2，α3线性无关；(3)同方法一可得α3=-α1+2α2．
方法三：由于矩阵