(2003年试题，六)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k，k>0)，汽锤第一次击打将桩打进地下am，根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数r(0
问答题
汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深?
【正确答案】正确答案：(1)根据题设，阻力为kx时，桩从地下am打到bm时需作功为
设第n次打击后，桩被打进地下x
n
，第n次打击时，汽锤所作的功为W
n
(n=1，2，3，…)，由已知，桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以
由于W
2
=rW
1
，因此
即ra
2
=x
2
2
一a
2
，从而
同理
则x
3
2
一(1+r)a
2
=r
2
a
2
，因此
所以汽锤击打3次后，可将桩打进地下
设第n次打击后，桩被打进地下x
n
，第n次打击时，汽锤所作的功为W
n
(n=1，2，3，…)，由已知，桩被打进地下的深度为x时，土层对桩的阻力的大小为kx，所以
由于W
2
=rW
1
，因此
即ra
2
=x
2
2
一a
2
，从而
同理
则x
3
2
一(1+r)a
2
=r
2
a
2
，因此
所以汽锤击打3次后，可将桩打进地下
【答案解析】
问答题
若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深?(注：m表示长度单位米．)
【正确答案】正确答案：(2)由数学归纳法，设
则
同样由W
a+1
=rW
a
=r
2
W
n-1
=…=r
n
W
1
可得x
n+1
2
－(1+r+…+r
n-1
)a
2
=r
n
a
2
即
即打击无限次，汽锤可将桩打进地下
则
同样由W
a+1
=rW
a
=r
2
W
n-1
=…=r
n
W
1
可得x
n+1
2
－(1+r+…+r
n-1
)a
2
=r
n
a
2
即
即打击无限次，汽锤可将桩打进地下
【答案解析】