设f(x)为[a，b]上的函数且满足
则称f(x)为[a，b]上的凹函数，证明：
(1)若f(x)在[a，b]上二阶可微，且f"(x)＞0，则f(x)为[a，b]上的凹函数．
(2)若f(x)为[a，b]上的有界凹函数，则下列结论成立：
(i)
∈[0，1]，f(λx
1
+(1一λ)x
2
)≤λf(x
1
)+(1—λ)f(x
2
)，x
1
，x
2
∈[a，b]；
则称f(x)为[a，b]上的凹函数，证明：
(1)若f(x)在[a，b]上二阶可微，且f"(x)＞0，则f(x)为[a，b]上的凹函数．
(2)若f(x)为[a，b]上的有界凹函数，则下列结论成立：
(i)
∈[0，1]，f(λx
1
+(1一λ)x
2
)≤λf(x
1
)+(1—λ)f(x
2
)，x
1
，x
2
∈[a，b]；
【正确答案】正确答案：(1)对
x，x
0
∈[a，b]，有 f(x)=f(x
0
)+f"(x
0
)(x一x
0
)+
(x-x
0
)
2
＞f(x
0
)+f"(x
0
)(x—x
0
)，在上式中分别取x=x
1
，x=x
2
，
得到
上述两式相加即得证． (2)先证(i)．由(1)有f(x)≥f(x
0
)+f"(x
0
)(x—x
0
)，分别取x=x
1
，x=x
2
，x
0
=λx
1
+(1一λ)x
2
，得到 f(x
1
)≥f(x
0
)+(1一λ)f"(x
0
)(x
1
—x
2
)， ① f(x
2
)≥f(x
0
)+λf’(x
0
)(x
2
一x
1
)． ② λ×①+(1一λ)×②得 λf(x
1
)+(1-λ)f(x
2
)≥f(x
0
)=f(λx
1
+(1一λ)x
2
)， 得证
再证(iv)．
∈[a，b]，设G为|f(x)|的上界，取绝对值充分小的δ，m＜n，使得 x
1
=x
2
=…=x
m
=x+nδ，x
m+1
=…=x
n
=x．由(ii)知
x，x
0
∈[a，b]，有 f(x)=f(x
0
)+f"(x
0
)(x一x
0
)+
(x-x
0
)
2
＞f(x
0
)+f"(x
0
)(x—x
0
)，在上式中分别取x=x
1
，x=x
2
，
得到
上述两式相加即得证． (2)先证(i)．由(1)有f(x)≥f(x
0
)+f"(x
0
)(x—x
0
)，分别取x=x
1
，x=x
2
，x
0
=λx
1
+(1一λ)x
2
，得到 f(x
1
)≥f(x
0
)+(1一λ)f"(x
0
)(x
1
—x
2
)， ① f(x
2
)≥f(x
0
)+λf’(x
0
)(x
2
一x
1
)． ② λ×①+(1一λ)×②得 λf(x
1
)+(1-λ)f(x
2
)≥f(x
0
)=f(λx
1
+(1一λ)x
2
)， 得证
再证(iv)．
∈[a，b]，设G为|f(x)|的上界，取绝对值充分小的δ，m＜n，使得 x
1
=x
2
=…=x
m
=x+nδ，x
m+1
=…=x
n
=x．由(ii)知
【答案解析】