问答题
设函数f(x)在闭区间[-1，1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0，f(1)=1，f"(0)=0，证明：在开区间(-1，1)内至少存在一点ξ，使f"""(ξ)=3．
【正确答案】
【答案解析】证 由麦克劳林公式得
其中η介于0与x之间，x∈[-1，1]．
分别令x=-1和x=1，并结合已知条件，得
两式相减，可得f"""(η 1 )+f"""(η 2 )=6．
由f"""(x)的连续性知，f"""(x)在闭区间[η 1 ，η 2 ]上有最大值和最小值，设它们分别为M和m，则有
再由连续函数的介值定理知，至少存在一点
，使
其中η介于0与x之间，x∈[-1，1]．
分别令x=-1和x=1，并结合已知条件，得
两式相减，可得f"""(η 1 )+f"""(η 2 )=6．
由f"""(x)的连续性知，f"""(x)在闭区间[η 1 ，η 2 ]上有最大值和最小值，设它们分别为M和m，则有
再由连续函数的介值定理知，至少存在一点
，使