计算题
已知函数f(x)=(a+1)1nx+ax2+1．
问答题
18.讨论函数f(x)的单调性；
【正确答案】f(x)的定义域为(0，+∞)，f＇(x)=
.
当a≥0时，f＇(x)＞0，故f(x)在(0，+∞)单调递增；当a≤－1时，f＇(x)＜0，故f(x)在(0，+∞)单调递减；当－1＜a＜0时，令f＇(x)=0，解得x=
．则当x∈(0，
时，f＇(x)＞0，x∈(
，+∞)时，f＇(x)＜0，故f(x)在(0，
)单调递增，在(
.当a≥0时，f＇(x)＞0，故f(x)在(0，+∞)单调递增；当a≤－1时，f＇(x)＜0，故f(x)在(0，+∞)单调递减；当－1＜a＜0时，令f＇(x)=0，解得x=
．则当x∈(0，时，f＇(x)＞0，x∈(，+∞)时，f＇(x)＜0，故f(x)在(0，)单调递增，在(【答案解析】
问答题
19.设a＜－1．如果对任意x1，x2∈(0，+∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|，求a的取值范围．
【正确答案】不妨假设x1≥x2．而a＜－1，由(Ⅰ)知f(x)在(0，+∞)单调递减，从而
x1，x2∈(0，+∞)，
|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|，等价于
x1，x2∈(0，+∞)，f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1①．
令g(x)=f(x)+4x，则g＇(x)=
+2ax+4．
等价于g(x)在(0，+∞)单调递减，即
+2ax+4≤0．
从而a≤
x1，x2∈(0，+∞)，|f(x1)－f(x2)|≥4|x1－x2|，等价于
x1，x2∈(0，+∞)，f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1①．令g(x)=f(x)+4x，则g＇(x)=
+2ax+4．等价于g(x)在(0，+∞)单调递减，即
+2ax+4≤0．从而a≤
【答案解析】